我也不知道为什么要把这玩意传上来，不过当初写了好久不传上来看着心里难受，排版就不弄了，配图也不见了，看似公式还能正常显示，也许以后可以用到。
多元函数微分
多元极限求解
-
恒等变换
-
洛必达法则
满足洛必达法则要求式子满足： $$ \frac{\infty}{\infty} 或则 \frac{0}{0} $$ 对分母分子同时求导。
- 等价无穷小替换
多元函数的一阶偏导数
关于谁求偏导，就将其它变量看作常数。
三元函数求偏导
方法同上。
多元抽象函数求偏导
抽象函数形如： $$ f(xy,x+2y) $$ 将两个元素设为中间变量后运用链式法则求解。 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{u}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial z}{\partial x} $$ 链式法则：同枝相乘，异枝相加
多元函数求二阶偏导
先求一阶偏导，再求二阶偏导。
多元抽象符合函数求二阶偏导
先求抽象函数的一阶偏导，再求二阶偏导，其中中间变量要保持不变。
多元函数的全微分
关于二元函数： $$ z = f(x,y) $$ 的全微分： $$ dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy $$
关于三元函数： $$ u = f(x,y,z) $$ 的全微分： $$ du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy + \frac{\partial u}{\partial z}dz $$
多元隐函数求偏导
即三元方式确定二元隐函数，方程两边对x求偏导。
多元函数求极值
多元函数求极值：一驻、二判
先求驻点，令： $$ f_{x}^{'} (x,y) = 0 $$
得到驻点（可能不止一个）
再通过公式： $$ AC-B^2 $$ 判断当前驻点是否为极值。
-
AC-B^2大于零且A>0则当前驻点为极小值。
-
AC-B^2大于零且A<0则当前驻点为极大值。
- AC-B^2小于零，则当前驻点非极值。
条件极值
条件极值问题： $$ Z = f(x,y)在条件\varphi(x,y)=0的条件下的极值（最值） $$ 构造拉格朗日函数（拉格朗日乘数法） $$ L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda\varphi(x,y) $$
否则求出驻点根据公式判断其为极大值或是极小值等。
二重积分
非圆周区域上的二重积分计算
即积分区域为一个面，首先需要对积分区域D进行分类：
- x型区域
- y型区域
x，y型区域与边界线至多有两个交点
- x型区域：定x穿y
- y型区域：定y穿x
使用二次积分法
-
\[ \iint_{D_{x}}f(x,y)dxdy=\int_{a}^{b}dx\int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}f(x,y)dy（先y后x结果带入前面的积分中运算） \]
-
\[ \iint_{D_{y}}f(x,y)dxdy=\int_{a}^{b}dy\int_{x_{1}(y)}^{x_{2}(y)}f(x,y)dx（先x后y结果带入前面的积分中运算） \]
一些无法计算的积分
-
\[ \int\frac{siny}{y}dy \]
-
\[ \int\frac{cosy}{y}dy \]
-
\[ \int e^{-y^{2}}dy \]
-
\[ \int e^{y{2}}dy \]
与圆周相关区域二重积分的计算
当被积分区域与圆有关时可以使用极坐标进行计算。 $$ \iint_{D}f(x,y)dxdy=\iint_{D}f(rcos\theta,rsin\theta)\cdot rdrd\theta $$ 其中： $$ \left{\begin{matrix} dxdy=rdrd\theta \x=rcos\theta \y=rsin\theta
\end{matrix}\right. $$
换元带入后转换为三个定积分求解。
三重积分
投影法求三重积分（先一后二）
-
当被积函数为z的一元函数时可用此方法。
-
画出草图。
-
\[ 用一个平行x0y的平面把\Omega截割：定z穿D_{z} \]
-
运用先二后一公式。
柱面坐标法求三重积分（先二后一）
- 当积分区域为圆柱体、圆锥、旋转体的时候，可以使用柱面坐标。
- 画出草图。
- 换元。
- 三次定积分。
球坐标法求三重积分
-
当积分区域为球体的时候，可以使用球坐标法。
-
画出草图。
-
换元。
-
$$ \left{\begin{matrix} x=rsin\varphi cos\theta \y=rsin\varphi sin\theta \z=rcos\varphi
\end{matrix}\right. $$
-
体积元： $$ dxdydz=r^{2}sin\varphi \cdot drd\varphi d\theta $$
-
三次定积分。
曲线积分与曲面积分
对弧长曲线积分（第一类曲线积分）
-
画出积分路径L的图。
-
两种公式分别对应L的方程为直角坐标系，L的方程为参数方程。
-
若L的方程为直角坐标系。 $$ y=y(x),a\le x\ge b,则ds=\sqrt{1+y^{'2}}dx $$
-
若L的方程为参数方程。 $$ \left{\begin{matrix} x=x(t) \y=y(t)
\end{matrix}\right. ,\alpha \le t\gt \beta,则ds=\sqrt{x^{'2}{t}+y^{'2}\cdot dt $$}
如果积分内含有L的方程，则L可以直接带入积分内求解。
对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）
-
第二类曲线积分分为：
-
\[ \int_{L}^{}P(x,y)dx （对x轴） \]
-
\[ \int_{L}^{}Q(x,y)dy （对y轴） \]
-
\[ \int_{L}^{}P(x,y)dx + Q(x,y)dy （同时对x轴和y轴） \]
-
若L的方程为直角坐标系方程，则：
-
\[ \int_{L}^{}P(x,y)dx+Q(x,y)dy = \int_{a}^{b}P(x,y(x))dx+Q(x,y(x))y^{'}(x)dy \]
其中a和b是L的起点和终点。 $$ \int_{a}^{b}\left[P+Qy^{'}(x) \right]dx $$
-
若L的方程为参数方程，则：
-
\[ \int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{\alpha}^{\beta}P(x(t),y(t))x^{'}(t)dt+Q(x(t),y(t))y^{'}(t)dt \]
格林公式求第二类曲线积分
当曲线积分为封闭曲线的时候可以使用格林公式。 $$ \oint_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\pm\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x} \frac{\partial P}{\partial y})dxdy $$ 格林公式前的正负号，一般逆时针的时候取正号，顺时针的时候取负号。
对面积的曲面积分（第一类曲面积分）
对于第一类曲面积分使用投影法（一投、二代、三等）
-
把曲面∑投影到恰当的坐标面：
-
\[ \Sigma \longrightarrow z = (x,y)，则\Sigma投影至x0y平面,ds=\sqrt{1+z^{^2}_{x}+z^{'2}_{y}}\cdot dxdy \]
-
\[ \Sigma \longrightarrow y = (z,x)，则\Sigma投影至x0y平面,ds=\sqrt{1+y^{^2}_{x}+y^{'2}_{z}}\cdot dzdx \]
-
\[ \Sigma \longrightarrow x = (z,y)，则\Sigma投影至x0y平面,ds=\sqrt{1+x^{^2}_{z}+x^{'2}_{y}}\cdot dzdy \]
-
∑方程带入被积函数。
-
化为二重积分运算。
对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）
第二类曲面积分为：
-
\[ \iint_{\Sigma}P(x,y,z)dydz \]
-
\[ \iint_{\Sigma}Q(x,y,z)dzdx \]
-
\[ \iint_{\Sigma}R(x,y,z)dydx \]
其中：
-
\[ 对\iint_{\Sigma}R(x,y,z)dydx=\pm\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy \]
∑取上侧的时侯取正，取下侧的时候取负。
-
\[ 对\iint_{\Sigma}P(x,y,z)dydz=\pm\iint_{D_{yz}}P(x(x,y),y,z)dydz \]
∑取前侧的时候取正，取后侧的时候取负**。
-
\[ 对\iint_{\Sigma}Q(x,y,z)=\pm\iint_{D_{xz}}Q(,y(x,y),z)dxdz \]
∑取右侧的时候取正，取左侧的时候取负。
高斯公式求第二类曲面积分
当空间当中存在封闭曲面，则可用高斯公式 $$ \oint\oint_{\Sigma}xdydx+ydzdx+zdxdy=\pm\iiint_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz $$
无穷级数
无穷级数形如： $$ \sum_{n=1}^{\infty}n=\infty（结果为无穷，则该级数为发散的） $$
一些无穷级数常用的结论：
-
\[ \lim_{x \to \infty} \sqrt[n]{a}=1 \]
-
\[ \lim_{x \to \infty}\sqrt[n]{n}=1 \]
-
\[ \lim_{x \to \infty}\sqrt[n]{n^{2}-3n}=1 \]
根号下任何多项式，最后的结果都为1。
-
\[ \lim_{x \to \infty}\sqrt[n]{n!}=+\infty \]
判别正项级数的敛散性
判断正向级数的敛散性常用的方法：
- 比值法
- 根值法
二者结果判别方法如下：
- L < 1：收敛
- L > 1：发散
- L = 0：两方法失效
判别交错级数的收敛性
形如如下形式的无穷级数则为交错级数： $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}sin\frac{1}{n} $$
对于判断交错级数的收敛性使用莱布尼茨判别法 $$ 若\lim_{x \to \infty}U_{n} = 0，且数列U_{n}递减，则为收敛的 $$
若Um不等于0，则必为发散的。
求幂级数的和函数
先求幂级数的收敛域： $$ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n} \to R=\lim_{X \to \infty}\left |\frac{a_{n}}{a{_n}+1}\right | (R-收敛半径) $$
常见的幂级数：
-
\[ \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}=\frac{1}{1-x}（等比级数=\frac{首项目}{1-公比}） \]
-
\[ \sum_{n=1}^{\infty}x^{n}=\frac{x}{1-x} \]
-
\[ \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}=\frac{1}{1+x} \]
-
\[ \sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}=\frac{1}{1-x^{2}} \]
# 常数线性微分方程
- 齐次：等号右边等于0
- 非齐次：等号右边不等于0
齐次的微分方程通解公式： $$ y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C] $$